الجبر الخطي الأمثلة

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

خطوة 1

يحدد التحويل خريطة من $ℝ^{3}$ إلى $ℝ^{3}$ . ولإثبات أن التحويل خطي، يجب أن يحافظ التحويل على ضرب الكميات العددية وجمع المتجهات والمتجه الصفري.

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

خطوة 2

أولاً، اثبت أن التحويل يحافظ على هذه الخاصية.

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

خطوة 3

أنشئ مصفوفتين للتأكد مما إذا كانت خاصية الجمع محفوظة لـ $p$ .

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

خطوة 4

أضف المصفوفتين.

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 5

طبّق التحويل على المتجه.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

خطوة 6

أعِد ترتيب $\frac{26}{14}$ .

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

خطوة 7

قسّم النتيجة إلى مصفوفتين بتجميع المتغيرات.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 8

بما أن خاصية جمع التحويلات لا تنطبق، إذن هذا ليس تحويلاً خطيًا.

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$